tmb-derivative

Ableitung von Funktionen einer Veränderlichen

Steigung einer Funktion

Oft interessiert uns nicht der Wert einer Funktion an sich, sondern vor allem die Steigung der Funktion. Im einfachsten Fall ist die Funktion konstant und hat keine Steigung.

kd-keine-steigung

Bei linearen Funktionen ist die Steigung überall konstant. Betrachten wir zum Beispiel die Funktion equation.

kd-konstante-steigung

Die Steigung, oder Ableitung kann hier bestimmt werden, indem im sogenannten Steigungsdreieck die in lila eingezeichnete Differenz equation durch die in grün eingezeichnete Differenz equation geteilt wird. Dies entspricht auch unserem praktischen Verständnis von Steigung, nämlich eine Höhenänderung pro Strecke. Im Beispiel gilt für die Steigung equation:

equation
equation
equation

Ableitung einer Funktion

Nur die wenigsten Funktionen, mit denen wir uns beschäftigen, sind linear. Bei nichtlinearen Funktionen kann die Steigung nicht mehr für die gesamte Funktion angegeben werden, sondern bezieht sich immer nur auf einen Punkt auf der Funktionskurve. In folgender Abbildung ist die Steigung der rot eingezeichneten Funktion an der Stelle equation durch eine lila Tangente verdeutlicht.

derivative2

Um diese Steigung auszurechnen, müssen wir nun die Ableitung der Funktion berechnen.

Die Ableitung einer Funktion ist die Steigung der Funktion für den jeweiligen Funktionswert.

Für eine lineare Funktion lässt sich die Ableitung mit Hilfe des Steigungsdreiecks berechnen, wie oben gezeigt wurde. Für eine nichtlineare Funktion müssen wir das Steigungsdreieck langsam verkleinern, bis es nur noch ein unendlich kleines Intervall um den betrachteten Punkt darstellt. Dieses Vorgehen ist in folgender Abbildung verdeutlicht.

derivative1

Die Ableitung am Punkt p wird hier approximiert, indem im Steigungsdreieck equation gesetzt wird und dann equation verkleinert wird. Wenn wir den Grenzwert betrachten, in dem equation gegen Null geht, erhalten wir die exakte Steigung.

Die Steigung berechnen wir mit:

equation

Die Ableitung ist nun definiert als:

equation

Betrachten wir die Funktion equation. Die Ableitung berechnen wir wie folgt:

equation
equation
equation
equation
equation
equation