tmb-distance

Abstand zwischen Punkten, Geraden und Ebenen

Wir lösen das Abstandsproblem für verschiedene Kombinationen von Punkten, Geraden und Ebenen.

Abstand zwischen zwei Punkten

Gegeben sind zwei Punkte equation und equation. Wir subtrahieren einen Vektor vom anderen, um den Vektor zwischen equation und equation zu erhalten. Die Distanz zwischen beiden Punkten ist dann die Länge dieses Vektors:

    equation

Abstand zwischen Punkt und Gerade

Gegeben ist ein Punkt equation und eine Gerade equation. Wir suchen den Abstand zwischen beiden (die kürzeste Distanz zwischen dem Punkt und einem Punkt auf der Geraden). Zuerst normieren wir den Vektor equation (wir nennen ihn equation). Anschließend suchen wir einen Vektor, der von einem Punkt auf der Geraden zu Punkt equation zeigt. Diesen erhalten wir mit equation. Schließlich nehmen wir das Kreuzprodukt zwischen diesem Vektor und dem normierten Vektor der Geraden, um den kürzesten Vektor zu erhalten, der von einem Punkt auf der Geraden zum Punkt equation zeigt. Der Abstand ist nun die Länge dieses Vektors:

(1)   equation

Abstand zwischen Punkt und Ebene

Gegeben ist ein Punkt equation und eine Ebene. Gesucht ist der Abstand, also die kürzeste Distanz vom Punkt equation zu einem Punkt auf der Ebene. Dieser lässt sich ganz einfach errechnen, wenn die Ebene in der Hesseschen Normalform ist. Falls die Ebene nicht in dieser Form vorliegt, können wir sie umformen. Um diese zu erhalten, normieren wir den Normalenvektor equation der Ebene (wir nennen ihn equation). Wir setzen dann Punkt equation in die Ebenengleichung für equation ein, um den Abstand zu bestimmen:

(2)   equation

Falls die Ebene in der allgemeinen Form vorliegt, können wir diese abgewandelte Formen verwenden:

    equation

Abstand zwischen Gerade und Ebene

Gegeben ist eine Gerade equation und eine dazu parallele Ebene. Gesucht ist der Abstand zwischen beiden. Wir können einen beliebigen Punkt auf der Geraden wählen und das bereits bekannte Abstandsproblem zwischen Punkt und Ebene lösen. Eine offensichtliche Wahl ist dabei equation.

Abstand zwischen zwei Geraden

Gegeben sind die beiden Geraden equation und equation. Gesucht ist der Abstand zwischen beiden, also die kürzeste Distanz zwischen einem Punkt auf der ersten und einem auf der zweiten Geraden. Der Vektor der diese beiden Punkte verbindet ist senkrecht zu beiden Geraden. Das Kreuzprodukt der Vektoren beider Geraden gibt uns diesen Vektor. Wir normieren diesen Vektor. Nun brauchen wir noch einen beliebigen Vektor zwischen einem Punkt auf der ersten und einem auf der zweiten Geraden. Das Skalarprodukt beider Vektoren gibt den Abstand.

    equation

Abstand zwischen zwei Ebenen

Beide Ebenen müssen parallel zueinander sein. Wir wählen einen beliebigen Punkt auf einer Ebene und lösen das bekannte Punkt-Ebene Abstandsproblem.