Abstandsprobleme

18.05.2007

Dieser Artikel behandelt die verschiedenen Abstandsprobleme in der analytischen Geometrie zwischen Ebene, Punkt und Gerade.

Es werden vorausgesetzt: Grundlagen der Vektorrechnung

Punkt - Punkt	Punkt - Gerade	Punkt - Ebene
Gerade - Punkt	Gerade - Gerade	Gerade - Ebene
Ebene - Punkt	Ebene - Gerade	Ebene - Ebene

Punkt - Punkt

Um den Abstand zweier Punkte zu berechnen, werden ihre Ortsvektoren subtrahiert, sodass ein Vektor entsteht, der vom einen zum anderen Punkt verläuft. Anschließend nimmt man den Betrag des entstandenen Vektors, um seine Länge und somit den Abstand der beiden Punkte zu berechnen.

$d=\left| \vec {P_1} - \vec {P_2} \right|$

Punkt - Gerade

Um den Abstand zwischen einem Punkt und einer Gerade zu berechnen, nimmt man das Vektorprodukt des normierten Richtungsvektors der Geraden und dem Vektor, der den Stützpunkt der Geraden und den Punkt verbindet. Anschließend bildet man den Betrag des enstandenen Vektors.

$d=\left| \vec {U_0} \times \left( \vec r - \vec p \right) \right|$
$\vec {U_0}$ : normierter Richtungsvektor der Geraden
$\vec r$ : Stützvektor der Geraden
$\vec p$ : Ortsvektor des Punktes

Punkt - Ebene

Wenn die Ebene als Normalenform vorliergt, lässt sich der Abstand zwischen dem Punkt und der Ebene am leichtesten mit der Hesseschen Normalenform berechnen. Um diese zu erhalten, muss der Normalenvektor der Ebene normiert werden. Setzt man den Punkt nun in diese Form ein, so erhält man den Abstand.

$d=\left| \left( \vec p - \vec q \right) \cdot \vec {n_0} \right|$

Wenn die Ebene in der allgemeinen Form vorliegt, lässt sich eine abgewandelte Form der Hesseschen Normalenform verwenden. Die formel dazu lautet:

$d=\left| \frac {ap_1+bp_2+cp_3-d}{sqrt{a^2+b^2+c^2}} \right|$

Gerade - Ebene

Um den Abstand berechnen zu können, müssen Gerade und Ebene parallel zueinander sein. Es kann ein beliebiger Punkt der Gerade verwendet werden, um den Abstand der Ebene zu berechnen. Somit vereinfacht sich das Problem zum Schnittproblem von Punkt - Ebene. Als Punkt kann der Einfachheit halber der Stützvektor der Gerade verwendet werden.

Gerade - Gerade

$d=\left| \left( \vec p - \vec q \right) \cdot \frac {\vec u \times \vec v}{\left| \vec u \times \vec v \right|} \right|$

Ebene - Ebene

Um den Abstand berechnen zu können, müssen die Ebenen parallel zueinander sein. Es kann ein beliebiger Punkt der einen Ebene ausgewählt werden und der Abstand zur anderen Ebene berechnet werden, indem das Schnittproblem Punkt - Ebene verwendet wird.

Kategorie: Analytische Geometrie | Kommentare (4)

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