Ebenenumformungen

19.05.2007

Allgemeine Form zur Normalenform

Gegeben ist folgende Ebene in der allgemeinen Form und gesucht ist die gleiche Ebene in der Normalenform: $d = n_1 x + n_2 y + n_3 z$

Zuerst braucht man den Normalenvektor der Ebene. Der Normalenvektor $\vec n$ lässt sich direkt von den Vorfaktoren ablesen ( $\vec n=\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}$ ). Desweiteren wird ein Punkt benötigt, der in der Ebene liegt. Eine möglicher Punkt lässt sich zum Beispiel so berechnen: $\vec p=\begin{pmatrix}0\\0\\\frac{d}{n_3}\end{pmatrix}$ .

Nun sind $\vec n$ und $\vec p$ bekannt und die Ebene lässt sich aufstellen:

$\left[ \vec x - \vec p \right] \cdot \vec n=0$

Normalenform zur allgemeinen Form

Gegeben ist folgende Ebene in der Normalenform und gesucht ist die gleiche Ebene in der allgemeinen Form: $\left[ \vec x - \vec p \right] \cdot \vec n=0$

Die Normalenform wird ausmultipliziert und kann direkt in die allgemeine Form umgeformt werden:

$\begin{align}\left[ \vec x - \vec p \right] \cdot \vec n &= 0 \\ \vec n \cdot \vec x - \vec n \cdot \vec p &= 0\\ n_1 x + n_2 y + n_3 z &= \vec n \cdot \vec p\end{align}$

$\vec n \cdot \vec p$ sei $d$ .

Parameterform zur allgemeinen Form

Gegeben ist folgende Ebene in der Parameterform und gesucht ist die gleiche Ebene in der allgemeinen Form: $\vec x=\vec p + r\vec u + s\vec v$

Zuerst errechnet man den Normalenvektor mit Hilfe des Kreuzproduktes aus den Beiden Spannvektoren:

$\vec n=\vec u \times \vec v$

Jetzt muss nur noch eingesetzt und ausgerechnet werden:

$\vec n \cdot \vec x=\vec n \cdot \vec p$

Allgemeine Form zur Parameterform

Gegeben ist folgende Ebene in der allgemeinen Form und gesucht ist die gleiche Ebene in der Parameterform: $d = n_1 x + n_2 y + n_3 z$

Die Ebene wird nach einer Variable, hier z.B. $x$ aufgelöst:

$x=\frac{d-n_2 y-n_3 z}{n_1}=\frac{d}{n_1}-\frac{n_2}{n_1}y-\frac{n_3}{n_1}z$

Die anderen beiden Variablen $y$ und $z$ werden als $r$ bzw. $s$ definiert.

Die Ebene lässt sich nun wie folgt aufstellen:

$\vec x = \begin{pmatrix}\frac{d}{n_1}\\0\\0\end{pmatrix}+r \begin{pmatrix}-\frac{n_2}{n_1}\\1\\0\end{pmatrix}+s \begin{pmatrix}-\frac{n_3}{n_1}\\0\\1\end{pmatrix}$

Weitere Umformungen

Für die beiden übrigen Umformungsmöglichkeiten zwischen Parameterform und Normalenform gibt es zwar auch direkte Wege, allerdings ist die Umformung zwischen der allgemeinen Form und der Normalenform so einfach, dass man auch den Umweg gehen kann, indem man zwei Umformungen über die allgemeine Form macht.

Der Ansatz für die Umformung der Normalenform zur Parameterform ist es, zwei weitere Punkte zu suchen, die die Gleichung der Normalenform erfüllen, und die Parameterform mit Hilfe dieser aufzuspannen.

Alternativ kann man auch den Weg über das Gleichungssystem gehen, was sich aus folgenden Bedingungen ergibt:

Der Normalenvektor ist senkrecht zu den Spannevektoren der Parameterform: $\vec n \cdot \vec u=0 \\ \vec n \cdot \vec v=0$

Weiterhin müssen die beiden Spannvektoren linear unabhängig sein: $t\cdot\vec u\ne\vec v$

Der Weg von der Parameterform zur Normalenform ist fast identisch mit dem Weg von der Parameterform zur allgemeinen Form.

Kategorie: Analytische Geometrie | Kommentare (1)

Kommentare

Joyce

02.09.2011

And I tohguht I was the sensible one. Thanks for setting me straight.

MatheMatrix