tmb-transform

Ebenenumformungen

Wir stellen die Ebenenumformungen zwischen der allgemeinen Form, der Normalenform und der Parameterform vor.

Allgemeine Form zur Normalenform

Gegeben ist folgende Ebene in der allgemeinen Form und gesucht ist die gleiche Ebene in der Normalenform: equation

Zuerst braucht man den Normalenvektor der Ebene. Der Normalenvektor equation lässt sich direkt von den Vorfaktoren ablesen (equation). Desweiteren wird ein Punkt benötigt, der in der Ebene liegt. Ein möglicher Punkt lässt sich zum Beispiel so berechnen: equation.

Nun sind equation und equation bekannt und die Ebene lässt sich aufstellen:

equation

Normalenform zur allgemeinen Form

Gegeben ist folgende Ebene in der Normalenform und gesucht ist die gleiche Ebene in der allgemeinen Form: equation

Die Normalenform wird ausmultipliziert und kann direkt in die allgemeine Form umgeformt werden:

(1)   equation

equation sei equation.

Parameterform zur allgemeinen Form

Gegeben ist folgende Ebene in der Parameterform und gesucht ist die gleiche Ebene in der allgemeinen Form: equation

Zuerst errechnet man den Normalenvektor mit Hilfe des Kreuzproduktes aus den Beiden Spannvektoren:

equation

Jetzt muss nur noch eingesetzt und ausgerechnet werden:

equation

Allgemeine Form zur Parameterform

Gegeben ist folgende Ebene in der allgemeinen Form und gesucht ist die gleiche Ebene in der Parameterform: equation

Die Ebene wird nach einer Variable, hier z.B. equation aufgelöst:

equation

Die anderen beiden Variablen equation und equation werden als equation bzw. equation definiert.

Die Ebene lässt sich nun wie folgt aufstellen:

equation

Normalenform zur Parameterform

Gegeben ist eine Ebene in der Normalenform equation und wir möchten sie in die Parameterform umformen: equation. Wir können dabei den Umweg über die allgemeine Form gehen, da die Umformung zwischen der Normalenform und der allgemeinen Form sehr einfach ist. Alternativ können wir auch direkt umformen und dabei gibt es zwei Ansätze: wir suchen zwei Punkte auf der Ebene (Werte, die die Gleichung der Normalenform lösen) und benutzen diese, um die Ebene aufzuspannen (Vektoren equation und equation). Alternativ können wir das folgende Gleichungssystem aufstellen und lösen, welches sich von den folgenden Bedingungen ergibt:

  • Der Normalenvektor equation ist senkrecht zu den Vektoren equation and equation der Parameterform. Mit dem Skalarprodukt können wir das wie folgt ausdrücken: equation
  • Die beiden Vektoren equation und equation müssen linear unabhängig sein: equation

Parameterform zur Normalenform

Diese Umformung ist fast identisch wie die Umformung von der Parameterform zur allgemeinen Form.
This transformation is nearly identical to the transformation from the parametric form to the cartesian form. Wir haben eine Ebene in der Parameterform equation und möchten diese in die Normalenform equation umformen. Dazu müssen wir lediglich den Normalenvektor equation der Ebene mit Hilfe des Keuzproduktes bestimmen:

    equation