tmb-eigenvalue

Eigenwerte und Eigenvektoren

Gegeben ist eine Matrix equation, ein Vektor equation und ein Skalar equation. equation wird als Eigenwert und equation als Eigenvektor bezeichnet, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:

    equation

Das bedeutet, wenn man equation mit equation transformiert (die Matrix mit dem Vektor multipliziert), ergibt das das gleiche Ergebnis, wie wenn man den Vektor mit dem Skalar equation multipliziert.

Oft, wenn wir eine lineare Transformation von einem Vektor und einer Matrix haben, zeigt der resultierende Vektor in eine andere Richtung. Nur in manchen Fällen bleibt die Richtung unverändert (auch wenn sich Länge und Orientierung verändert haben). In genau diesen Fällen kann man den neuen Vektor auch erhalten, indem man den alten mit einem Skalar multipliziert.

Die obige Gleichung hat eine triviale Lösung für equation. Wir möchten in der Regel die Eigenvektoren und Eigenverte einer Matrix unter der Bedingung equation bestimmen.

Bestimmung der Eigenwerte einer Matrix

Gegeben ist eine quadratische Matrix equation und wir möchten dessen Eigenwerte equation für einen Vektor equation finden, der kein Nullvektor ist. Wir verändern die obige Gleichung wie folgt:

(1)   equation

Wenn die Matrix equation invertierbar ist, dann ist die Lösung: equation. Wir möchten aber eine Lösung finden, bei der equation ist. Deshalb können wir nur eine Lösung finden, wenn equation nicht invertierbar ist. Das ist dann der Fall, wenn die Determinante der Matrix null ist:

    equation

Die Determinante equation gibt uns ein Polynom. Die Nullstellen des Polynoms sind die Eigenwerte von equation.

Wir möchten die Eigenwerte der folgenden Matrix equation bestimmen:

    equation

Wir stellen das Polynom auf, das wir von der Determinante equation erhalten:

(2)   equation

Die Eigenwerte sind die Nullstellen des Polynoms und können wie folgt gefunden werden:

(3)   equation

Die Eigenwerte von equation sind also equation und equation.

Bestimmung der Eigenvektoren einer Matrix

Um die Eigenvektoren equation einer Matrix equation zu bestimmen, brauchen wir dessen Eigenwerte equation. Wir bestimmen equation dann, indem wir equation lösen.

Wir fahren fort mit unserem obigen Beispiel. Unsere Matrix equation und dessen Eigenvektoren hier noch einmal zur Erinnerung:

(4)   equation

Wir bestimmen zunächst die Eigenvektoren für den Eigenwert equation:

(5)   equation

Das lineare Gleichungssystem ist nicht unabhängig. Es ist erfüllt für jeden Vektor equation, sodass equation ist. Die Eigenvektoren von equation passend zum Eigenwert equation sind: equation für alle equation.

Wie wiederholen die selbe Prozedur für equation und finden die Eigenvektoren equation für alle equation.