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Der Flächeninhalt des Kreises und die Herleitung von Pi

Der Flächeninhalt eines Kreises lässt sich mit folgender Formel berechnen:

    equation

Dabei ist equation eine irrationale Zahl (sie hat unendlich viele Stellen nach dem Komma und kann nicht als Bruch der Form equation angegeben werden, wobei equation und equation ganze Zahlen sind). Die Zahl equation hat den Wert equation.

Herleitung

Gegeben sei ein Einheitskreis mit Radius equation. Eine Möglichkeit den Flächeninhalt des Kreises zu bestimmen ist es, ihn in geometrische Figuren zu unterteilen, deren Inhalt wie schon bestimmen können, wie z.B. Rechtecke. Wir legen uns auf eine feste Breite des Rechtecks fest und platzieren so viele Rechtecke wie möglich im Kreis, wobei die Rechtecke immer genau so hoch sind, dass sie noch in den Kreis passen. Das ganze sieht so aus:

circlearea1

Wenn wir nun den Flächeninhalt all dieser Rechtecke bestimmen, können wir annähernd auf den Flächeninhalt des Kreises schließen. Die Breite equation des Rechtecks legen wir fest. Die Höhe equation müssen wir dann bestimmen, um den Flächeninhalt des Rechtecks mit equation ausrechnen zu können. Der Radius verläuft vom Zentrum zu einem Punkt auf dem Rechteck, wie folgt:

circlearea2

Wir erhalten dadurch ein rechtwinkliges Dreieck, mir dem Radius equation als Hypotenuse und der Höhe equation als eine Kathete und der Distanz vom Zetrum auf der schwarzen Linie als zweite Kathete. Diese Distanz ist ein vielfaches von equation und somit ist auch diese Länge bekannt. Für das erste Rechteck ist diese Distanz einfach nur equation. Wir können equation nun mit dem Satz des Pythagoras bestimmen.

Für das erste Rechteck haben wir equation. Aufgelöst nach equation erhalten wir equation. Für das zweite Rechteck haben wir equation und aufgelöst nach equation erhalten wir equation. Die Flächeninhalt für die verschiedenen Rechtecke kann also berechnet werden wie folgt:

(1)   equation

In unserem Diagramm haben wir den Kreis in vier Abschnitte unterteilt. Es genügt die Rechtecke eines Abschnitts zu berechnen, zu summieren und dann mit vier zu multiplizieren. In unserem Beispiel haben wir fünf Rechtecke in einem Abschnitt. Damit ist equation. In unserem Einheitskreis ist equation, also ist equation.

(2)   equation

Unser Ergebnis von equation ist ziemlich ungenau, da wir ja equation erwartet haben. Das liegt daran, dass nicht der gesamte Flächeninhalt des Kreises mit Rechtecken bedeckt ist. Wir können die Anzahl der Rechtecke erhöhen, um den unbedeckten Anteil zu verringern. Je mehr Rechtecke wir also im Kreis platzieren (je kleiner equation ist), desto genauer wird unser Ergebnis. Durch Betrachtung der obigen Rechnung erkennen wir ein Muster, mit dem wir einfach den Flächeninhalt mit einer beliebigen Anzahl equation von Rechtecken berechnen können:

(3)   equation

Wenn wir unendlich viele Rechtecke benutzten (equation), könnten wir den Flächeninhalt des Kreises exakt bestimmen.

    equation

Der Flächeninhalt des Einheitskreises ist equation und kann mit einem Computer auf beliebig viele Nachkommastellen bestimmt werden, indem wir einen ausreichend großen Wert für equation wählen.

    equation

Um nun den Flächeninhalt eines Kreises mit beliebigem Radius zu bestimmen, können wir equation ausklammern und erhalten die obige allgemeine Formel für den Flächeninhalt eines Kreises:

(4)   equation