Der Funktionsbegriff

27.01.2007

Einer der entscheidensten Begriffe der Mathematik ist der der Funktion. Eine Funktion $f$ ist eine eindeutige Zuordnung, was bedeutet, dass eine Funktion jeder Zahl $x$ aus der Menge $\mathbb{D}$ , für die die Funktion definiert ist, genau eine Zahl $y$ zuornet. Diese zugeornete Zahl $y$ heißt Funktionswert von $x$ oder Funktionswert an der Stelle $x$ . Die Menge $\mathbb{d}$ nennt man den Definitionsbereich der Funktion. Um einen Vorgeschmack darauf zu geben, wie kompliziert dieses Gebiet werden kann, siehe: Grundlagen der Funktionalanalysis.

Eine Funktion $f$ kann dann folgendermaßen dargestellt werden (Beispiel: quadratische Funktion):

$\mathbb{D}=\mathbb{R}$

Zuordnungsvorschrift:

$x \mapsto f(x)$

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Funtionsgleichung:

$f(x)=x^2$

$f(x)$ beizeichent man auch als abhängige Variable, $x$ als unabhängige. Den rechten Teil der Funktionsgleichung, hier also $x^2$ , nennt man Funktionstherm.

Der Definitionsbereich gibt an, welche Zahlen man in den Funktionstherm einsetzen darf, welche Werte also die unabhängige Variable annehmen kann. Das Pendant für die abhängige Variable ist der Wertebereich $\mathbb{W}$ , der angibt welche Werte die Funktion haben kann:

Um Funktionen übersichtlich darzustellen, nutzt man einen oft Graphen:

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