Die Grenzwertsätze

18.05.2007

Möchte man den Grenzwert einer Folge $a_n$ , die sich aus zwei anderen Folgen $b_n$ und $c_n$ zusammensetzt bestimmen, dann nutzt man die Grenzwertsätze. Diese lauten:

Grenzwertsatz für Summenfolgen:
$\lim _{n\to \infty}b_n+c_n=\lim _{n\to \infty}b_n+\lim _{n\to \infty}c_n$
Beispiel:
$\lim _{n\to \infty}\frac 5 n+\left(5+0{,}3^n\right ) =\lim _{n\to \infty}\frac 5 n+\lim _{n\to \infty}5+0{,}3^n=0+5=5$

Grenzwertsatz für Differenzenfolgen:
$\lim _{n\to \infty}b_n-c_n=\lim _{n\to \infty}b_n-\lim _{n\to \infty}c_n$
Beispiel:
$\lim _{n\to \infty}\frac 5 {n^2}-\left(4+0{,}2^n\right ) =\lim _{n\to \infty}\frac 5 n+\lim _{n\to \infty}4-0{,}2^n=0-4=-4$
Grenzwertsatz für Produktfolgen:
$\lim _{n\to \infty}b_n\cdot c_n=\lim _{n\to \infty}b_n\cdot \lim _{n\to \infty}c_n$
Beispiel:
$\lim _{n\to \infty}\left (1+\frac 1 n\right)^n\cdot \left (1+0{,}23^n \right ) =\lim _{n\to \infty}\left (1+\frac 1 n\right)^n\cdot \lim _{n\to \infty}\left (1+0{,}23^n \right )\\=e\cdot 1=e$
Grenzwertsatz für Quotientenfolgen:
$\lim _{n\to \infty}\frac {b_n}{c_n}=\frac{\lim _{n\to \infty}b_n}{\lim _{n\to \infty}c_n}$ aber nur dann, wenn $\lim _{n\to \infty}c_n\ne 0$
Beispiel: $\lim _{n\to \infty}\frac {\frac 1 {\sqrt n}} 5=\frac{\lim _{n\to \infty}\frac 1 {\sqrt n}}{\lim _{n\to \infty}5}=\frac {0} 5=0$

Bei all diesen Grenzwertsätzen ist aber zu beachten, daß sie nur gelten, wenn die Grenzwerte $\lim _{n\to \infty}b_n$ und $\lim _{n\to \infty}c_n$ auch existieren, d. h. wenn keine der beiden Folgen gegen Unendlich läuft.

Weitere Informationen: Grenzwerte und Konvergenz von Folgen und Reihen

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