Im Folgenden werden die Grundlagen der Kurvendiskussion beschrieben. Weiterführende Informationen gibt es hier: Analysis Theorie und Beispielaufgaben
Vorgaben
gegeben sei das folgende Polynom:
Die Gleichung lautet:
1. Verhalten im Unendlichen:
Das Verhalten im Unendlichen kann mit den Grenzwertsätzen bestimmt werden. Für das Beispielpolynom gilt:
Die Grenzwerte werden auch schon aus dem Graphen ersichtlich.
2.Nullstellen:
Geometrische Bedeutung:
Bei einer Nullstelle schneidet oder berührt der Graph die X-Achse des Koordinatensystems.
Arithmetische Bedeutung:
Eine Nullstelle liegt vor, wenn bei einer Funktion f(x) die Gleichung f(xo)=0 erfüllt ist, also wenn der y-Wert = 0 ist.
Für die Berechnung der Nullstellen wird die Funktion mit 0 gleichgesetzt und nach x hin aufgelöst.
Bei einem Polynom n-ten Gerades kann es bis zu n Nullstellen geben. Bei Polynomen ungeraden Grads gibt es immer mindestens eine Nullstelle.
Für das Beispielpolynom gilt:
3. Extrempunkte:
Ein Extrempunkt ist der tiefste oder höchste Punkt einer Funktion. Es gibt globale/absolute Minima und Maxima, die die tiefsten bzw höchsten Punkte der gesamten Funktion darstellen, und lokale/relative Minima in einem bestimmten Teil der Funktion.
Im Extrempunkt ist die Steigung der Funktion gleich 0 (eine im Extrempunkt angelegte Tangente hat also auch die Steigung 0).
Zusätzlich zu dieser notwendigen Bedingung muss aber auch noch der zweite Teil der hinreichenden Bedingung erfüllt sein: Die zweite Ableitung (Krümmung) der Funktion muss ungleich 0 sein, da ansonsten ein Sattelpunkt vorliegt.
Die Steigung lässt sich mit der Ableitung(link) der Funktion berechnen.
Für den x-Wert des Extrempunkes (den Extremwert) gilt also: und
Beispiel:
Ableitung:
Wenn man nun mit 0 gleichsetzt erhält man:
Zweite Ableitung:
Einsetzen der berechneten Stellen in die zweite Ableitung:
Einsetzen der berechneten Stellen in die Polynomfunktion:
4. Wendepunkte:
Bei einem Wendepunkt ändert sich die Krümmung der Funktion. Das heißt, wenn sie vor dem Wendepunkt in einer Rechtskurve verlaufen ist, verläuft sie danach in einer Linkskurve.
Für einen solchen Kurvenverlauf muss beim Wendepunkt die Ableitungsfunktion einen Extrempunkt haben. Analog zu den Extrempunkten gilt hier also: und
Beispiel:
Zweite Ableitung mit 0 gleichsetzen:
Da in der dritten Ableitung kein x vorkommt, ist sie immer ungleich 0, der zweite Teil der hinreichenden Bedingung ist erfüllt.
Einsetzen des berechneten x-Wertes in die Polynomfunktion: