tmb-matrixinverse

Inverse Matrix

Bei der normale Multiplikation existiert eine Inverse equation für jede Zahl equation (außer null), sodass equation gilt. Das ist natürlich equation, weil equation. Analog kann es auch für eine quadratische Matrix equation eine Inverse equation geben, sodass equation gilt, wobei equation die Einheitsmatrix ist. Nicht jede Matrix hat eine Inverse und solche, die sie haben, werden invertierbar genannt.

Zunächst behandeln wir einige Regeln und anschließend zeigen wir, wie man die Inverse bestimmt.

Rules

Die Reihenfolge, in der Matrix equation mit der Inversen equation multipliziert wird, ist nicht entscheidend:

    equation

Die Inverse des Produktes zweier invertierbarer Matrizen ist gleich dem Produkt ihrer Inversen:

    equation

Die Reihenfolge, in der eine Matrix invertiert und transponiert wird, ist nicht entscheidend:

    equation

Bestimmung der Inversen

Wir erklären, wie man eine Matrix invertiert anhand eines Beispiels.

Unsere Beispielmatrix lautet:

    equation

Wir fangen an, indem wir die Matrix neben einer Einheitsmatrix aufschreiben:

    equation

Das Ziel ist es nun, die linke Seite durch Operationen zu einer Einheitsmatrix umzuformen. Dieselben Operationen werden aber auch auf der rechten Seite mit der Einheitsmatrix durchgeführt. Wenn wir die linke Seite erfolgreich zu einer Einheitsmatrix umgeformt haben, dann ist die rechte Seite das Ergebnis, also die Inverse. Wir zeigen nun Schritt-für-Schritt, wie wir unsere Beispielmatrix umformen:

Zeile 3 = Zeile 3 – Zeile 1

    equation

Zeile 2 = Zeile 2 + 2 * Zeile 1
Zeile 3 = Zeile 3 * (-1)

    equation

Wir vertauschen Zeilen 2 und 3 und multiplizieren Reihe 2 mit -1 dabei:
Zeile 2 = Zeile 3
Zeile 3 = Zeile 2 * (-1)

    equation

Zeile 1 = Zeile 1 + 2 * Zeile 3
Zeile 2 = Zeile 2 – Zeile 3

    equation

Wir haben nun die Inverse auf der rechten Seite bestimmt. Das Ergebnis lautet also:

    equation

In der Tag können wir bestätigen, dass das Ergebnis korrekt ist, indem wir die Matrix mit der gefundenen Inversen multiplizieren, um die Einheitsmatrix zu erhalten. Dies ist eine gute Möglichkeit, das Ergebnis zu kontrollieren:

    equation