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Kreisausschnitt / Kreissektor

Der Kreisausschnitt (oder auch Kreissektor) ist eine Teilfläche eines Kreises. Die Fläche wird durch zwei Radien und vom Kreisbogen begrenzt. Die Fläche lässt sich also mit Hilfe des Winkels zwischen den Radien definieren. Das folgende Diagramm veranschaulicht dies:

kreisausschnitt

Berechnung des Kreisausschnitts

Wir können die Fläche des Kreisausschnitts mit Hilfe der Formel für den gesamten Flächeninhalt eines Kreises bestimmen. Ist der Winkel equation, dann ist der Kreisausschnitt gleich dem Flächeninhalt des gesamten Kreises und somit equation. Ist der Winkel equation, dann ist der Kreisausschnitt genau halb so groß. Die Formel zur Bestimmung eines beliebigen Kreisausschnitts mit Winkel equation ist also:

    equation

Die Länge des Kreisbogens ist equation. Analog zur Fläche des Kreisausschnitts, nehmen wir auch hier wieder einen Anteil, indem wir mit dem Bruch equation multiplizieren. Die Formel zur Bestimmung der Länge des Kreisbogens vom Kreisausschnitt ist also:

    equation

Ist statt des Winkels nur die Länge des Kreisbogens bekannt, können wir den Flächeninhalt auch mit equation berechnen, indem wir die Formel für equation nach equation auflösen und in die Flächenformel einsetzen.

Gegeben ist eine Pizza mit Durchmesser equation. Die Pizza ist in sechs Stücke geteilt. Wie groß ist der Flächeninhalt eines Stücks und wie lang ist die Rinde des Stücks?

Um dies zu berechnen, benötigen wir Winkel equation und Radius equation. Der Radius ist die Hälfte des Durchmessers, also equation. Die Pizza als Kreis hat equation. Teilen wir den Winkel durch sechs Stücke, erhalten wir den Winkel eines Stücks: equation. Nun können wir mit den obigen Formeln den Flächeninhalt und die Länge der Rinde (Kreisbogen den Stücks) berechnen:

    equation

    equation

Jedes Pizzastück hat einen Flächeninhalt von equation und die Rinde hat eine Länge von equation.