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Kurvendiskussion 4 – Extrempunkte

Ein Extrempunkt ist ein Punkt einer Funktion, an dem die Funktion ihren höchsten (Maximum) oder niedrigsten (Minimum) Wert annimmt. Ein globales Maximum oder Minimum ist der größte oder kleinste Funktionswert der gesamten Funktion, während ein lokales Maximum oder Minimum der größte oder kleinste Funktionswert in einer bestimmten Nachbarschaft ist.

Extrempunkte finden wir an Stellen, an denen sich die Steigung einer Funktion von positiv (ansteigend) zu negativ (abfallend) ändert oder anders herum. Man kann sich das am Beispiel eines Berges vorstellen: Wenn wir einen Berg hinaufgehen und seinen höchsten Punkt finden wollen, sollten wir weitergehen, bis die Steigung des Berges beginnt, wieder abzufallen. Am höchsten Punkt ist die Steigung des Berges Null. Wäre sie es nicht, könnten wir ja noch höher gelangen, wenn wir weiter gehen. Um den Hochpunkt einer Funktion zu finden, müssen wir also die Punkte betrachten, in denen die Steigung der Funktion gleich Null ist. Hierfür benutzen wir die Ableitung der Funktion, die ja bekanntlich die Steigung wiedergibt. Um die Punkte zu finden, an denen die Steigung Null ist, müssen wir die Nullstellen der ersten Ableitung finden.

Die Nullstellen der ersten Ableitung sind zwar potentielle Kandidaten für einen Hoch- oder Tiefpunkt der Funktion, müssen aber nicht zwingend solche Punkte sein. Stellen wir uns wieder den Berg vor. Wenn die Steigung zu Null wird und wir weder bergauf, noch bergab gehen, wären wir nur am höchsten Punkt des Berges, wenn der Weg anschließend wieder abfällt. Wenn der Weg nach der kurzen horizontalen Strecke weiter ansteigt, waren wir noch nicht beim Gipfel angekommen. Die Nullstellen der ersten Ableitung zu finden ist also nur der erste Schritt der Bestimmung von Extrempunkten. Anschließend müssen wir noch herausfinden, ob es sich bei dem potentiellen Extrempunkt um ein Maximum, ein Minimum oder keins von beidem handelt.

Berechnung potentieller Extremstellen

Wir betrachten die folgende Funktion und ihre erste Ableitung:

equation
equation

Nun berechnen wir die Nullstellen der ersten Ableitung equation, indem wir diese gleich Null setzen und nach equation lösen:

equation
equation
equation
equation
equation

Es gibt also potentielle Extremstellen bei equation und equation, aber wir müssen noch herausfinden, ob es sich dabei um Minima, Maxima oder weder noch handelt. Es handelt sich weder um einen Hoch- noch um einen Tiefpunkt, wenn die Funktion sowohl auf der linken, als auch auf der rechten Seite der potentiellen Extremstelle ansteigt bzw. abfällt. Um herauszufinden, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt, betrachten wir die zweite Ableitung der Funktion am potentiellen Punkt. Bei den berechneten Stellen sind die Funktionswerte der zweiten Ableitung:

equation
equation
equation

Nun wissen wir, dass es sich bei equation wegen equation um ein Maximum handelt, und bei equation wegen equation um ein Minimum. Der folgende Graph veranschaulicht dies. Die Funktion equation ist in rot eingezeichnet, wir können das Maximum bei -1 und das Minimum bei 4 erkennen. Die erste Ableitung equation ist in lila eingezeichnet und wir sehen, dass sie bei den Extrempunkten die X-Achse schneidet. Die zweite Ableitung equation ist in orange eingezeichnet. Wir sehen, dass sie bei -1 einen negativen Wert hat und bei 4 einen positiven.

extrema

Kein Extrempunkt

Bei manchen Funktionen liefern die Nullstellen der ersten Ableitung keine oder nicht ausschließlich Extrempunkte. Als Beispiel betrachten wir folgende Funktin und ihre Ableitung:

equation
equation
equation

Im folgenden Graphen wird deutlich, dass obwohl die Ableitung (lila) eine Nullstelle bei equation hat, dies kein Extrempunkt der Funktion (rot) ist. Dies wird bewiesen durch den Funktionswert der zweiten Ableitung (orange), der an dieser Stelle Null ist.

noextremum