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Kurvendiskussion 1 – Definitionsbereich

Unter einer Kurvendiskussion versteht man in der Mathematik die Untersuchung eines Funtionsgraphen auf Extrempunkte, Nullstellen und weitere wichtige Eigenschaften. Ziele der Kurvendiskussion sind:

  • Exakte Bestimmung charakteristischer Punkte des Graphen der Funktion
  • Beweis charakteristischer Eigenschaften wie Symmetrie
  • Eindeutige Aussagen bezüglich lokaler und globaler Extrema, die man eventuell im Graphen nicht sehen kann

Das Vorgehen bei der Kurvendiskussion beinhaltet immer die gleichen Schritte. Diese werden wir in diesem und den folgenden Artikeln erklären. Wir beginnen mit dem Definitionsbereich der Funktion.

Normalerweise setzen wir als Geltungsbereich für eine Funktion die Menge der reellen Zahlen voraus. Dieser Bereich wird dann weiter eingeschränkt. Der maximale Definitionsbereich einer Funktion equation ist also die Menge der reellen Zahlen equation, für die Funktionswerte equation definiert sind. Für ganzrationale Funktionen wird die Menge der reellen Zahlen nicht weiter eingeschränkt. Bei gebrochen rationalen Funktionen hingegen gehören nur die reellen Zahlen mit Ausnahme der Nullstellen der Nennerfunktion zum maximalen Definitionsbereich.

Beispiel für eine gebrochen rationale Funktion:

equation

Die Funktion im Nenner darf nicht Null werden. Dieses Kriterium wird erfüllt durch die reellen Zahlen außer -3 und 2. Der Definitionsbereich ist daher:

equation

Eine weitere Klasse von Funktionen, deren Definitionsbereich eingeschränkt ist, ist die Klasse der Wurzelfunktionen.

Beispiel für eine Wurzelfunktion:

equation

Der Term in der Wurzel, also der Radikant, darf nicht kleiner als Null werden. Dieses Kriterium wird erfüllt durch die reellen Zahlen, deren Betrag kleiner oder gleich 6 ist. Der Definitionsbereich ist daher:

equation

Als letztes sei noch die Logarithmusfunktion erwähnt. Die Logarithmusfunktion ist nur für positive Argumente definiert.

Beispiel für eine Logarithmusfunktion:

equation

Der Term im Logarithmus muss größer als Null sein. Dieses Kriterium wird erfüllt durch die reellen Zahlen, die größer als -2 sind. Der Definitionsbereich ist daher:

equation