tmb-roots

Kurvendiskussion 2 – Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Um einen Eindruck von einer Funktion zu gewinnen ist es praktisch, ihre Schnittpunkte mit den beiden Achsen des Koordinatensystems zu kennen. Wir wollen nun erklären, wie man die Schnittpunkte mit der Y-Achse (Y-Achsenabschnitt) und mit der X-Achse (Nullstellen) herausfindet.

Y-Achsenabschnitt, Schnittpunkt mit der Y-Achse

Den Schnittpunkt des Graphen mit der Y-Achse zu bestimmen, ist sehr simpel. Dazu muss lediglich als Funktionswert Null eingesetzt werden. Der Y-Achsenabschnitt liegt dann beim Punkt equation.

Hier einige Beispiele für die Berechnung des Schnittpunktes mit der Y-Achse.

equation

equation

equation

Die drei Funktionen sind in folgendem Graphen veranschaulicht:

y-achsenabschnitt-berechnen

Nullstellen, Schnittpunkt mit der X-Achse

Um die Nullstellen der Funktion, also die Schnittpunkte mit der X-Achse, zu berechnen, muss die Gleichung equation nach equation aufgelöst werden. Dabei stoßen wir je nach Typ der Funktion auf verschieden große Schwierigkeiten.

Nullstellen einer linearen Funktion

Wir betrachten die lineare Funktion equation. Nun wollen wir die Nullstelle finden, indem wir equation setzen:

equation
equation
equation
equation

Die Nullstelle ist also bei equation, der Funktionsgraph schneidet die X-Achse bei den Koordinaten equation. Dies ist in der folgenden Abbildung veranschaulicht:

linearroot

Nullstellen einer quadratischen Funktion

Wir betrachten die Parabel (Polynom zweiten Grades, oder auch quadratische Funktion) equation. Nun wollen wir die Nullstelle finden, indem wir equation setzen:

equation
equation
equation

Wir teilen zunächst die ganze Gleichung durch zwei, um die Form equation zu erhalten, wobei equation und equation. Jetzt können wir mit einer quadratischen Formel lösen.

equation
equation
equation
equation
equation
equation

Die Funktion hat also zwei Nullstellen bei equation und equation. Dies ist auf folgender Abbildung veranschaulicht.

quadraticroot

Nullstellen eines Polynoms dritten Grades

Wir betrachten nun die kubische Funktion equation. Erneut setzen wir equation und lösen nach equation.

equation
equation
equation

Im letzten Schritt haben wir equation ausgeklammert. Das bedeutet, dass Die Funktionswerte zu Null werden, wenn equation oder equation gilt. Den zweiten Teil haben wir schon im vorherigen Beispiel gelöst. Die Nullstellen sind also bei equation, equation und equation. Die folgende Abbildung veranschaulicht dies.

polyroot

Probleme bei der analytischen Nullstellenberechnung

Manche Funktionen können überhaupt nicht analytisch nach equation aufgelöst werden. Hier müssen wir dann numerische Verfahren anwenden.