tmb-symmetrie-eigenschaften-funktion

Kurvendiskussion 3 – Symmetrieeigenschaften

Viele Funktionen sind symmetrisch. Bei der Prüfung eines Graphen auf Symmetrie müssen mehrere Fälle berücksichtig werten.

Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse

Der Graph einer Funktion equation ist genau dann achsensymmetrisch bezüglich der equation-Achse, wenn für beliebige equation-Werte des Definitionsbereiches gilt:

equation

Bei ganzrationalen Funktionen treten unter diese Bedingung nur gerade Exponenten auf.

Hier ein Beispiele für eine Funktion, die zur y-Achse symmetrisch ist:

equation

achsensymmetrie-y-cosx-1000x4

Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs

Der Graph einer Funktion equation ist genau dann punktsymmetrisch bezüglich des Ursprungs, wenn für beliebige equation-Werte des Definitionsbereiches gilt:

equation

Diese Art der Symmetrie tritt bei ganzrationalen Funktion genau dann auf, wenn nur ungerade Exponenten vorkommen.

Hier ein Beispiel für eine Funktion, die zum Ursprung punktsymmetrisch ist:

equation

punktsymmetrie-ursprung-sinx-40x3

Achsensymmetrie bezüglich einer beliebigen Achse

Achsensymmetrie kann auch im Bezug auf eine Achse auftreten, die parallel zur y-Achse durch equation verläuft. Dies lässt sich mit folgender Bedingung testen:

equation

Achsensymmetrie tritt zum Beispiel bei quadratischen Funktionen auf. Die Symmetrieachse liegt dann auf der equation-Koordinate des Scheitels.

Hier ein Beispiele für eine Funktion, die zu einer beliebigen Achse achsensymmetrisch ist:

equation

achsensymmetrie-2

Die Symmetrieachse ist hier bei equation.

Punktsymmetrie bezüglich eines beliebigen Punktes

Punktsymmetrie kann auch im Bezug auf einen beliebigen Punkt auftreten, der nicht im Koordinatenursprung liegt. Dies testet man wie folgt:

equation

Äquivalent dazu gilt im Fall einer beliebigen Punktsymmetrie:

equation

Die Graphen aller Polynome dritten Grades sind punktsymmetrisch. Symmetriezentrum ist jeweils der Wendepunkt.

Hier ein Beispiel für eine Funktion, die zu einem beliebigen Punkt punktsymmetrisch ist (wird auch zentralsymmetrisch genannt):

equation

zentralsymmetrie-funktion

Die Funktion ist zentralsymmetrisch zum Punkt equation.