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Kurvendiskussion 5 – Wendepunkte

Der Wendepunkt einer Funktion ist der Punkt an dem die Funktion ihre Krümmung ändert. Wenn die Funktion also vor dem Wendepunkt nach links gekrümmt war, ist sie danach nach rechts gekrümmt und umgekehrt. Der Wendepunkt ist an der Stelle, an der die Steigung am größten ist. Stellen wir uns als Beispiel einen Berg vor. Wenn wir bergauf gehen und die Steigung immer steiler wird, haben wir den Wendepunkt erreicht, wenn die Steigung wieder weniger steil wird, da an dieser Stelle die Krümmung der Bergkuppe beginnt. Mathematisch lässt sich der Wendepunkt finden, indem man das Extremum (Hoch- oder Tiefpunkt) der ersten Ableitung bestimmt.

Wir wissen bereits, dass folgende Bedingungen gelten müssen, um ein Extremum zu garantieren:

equation

equation

Da wir aber ein Extremum der Ableitung equation finden wollen, und nicht der Funktion equation selbst, müssen am Wendepunkt die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sein:

equation

equation

Wenn equation, ändert die Funktion ihre Krümmung von rechts nach links. Umgekehrtes gilt für equation.

Wir betrachten folgende Funktion und ihre drei Ableitungen:

equation

equation

equation

equation

Nun berechnen wir die Nullstellen der zweiten Ableitung equation, indem wir gleich Null setzen und nach equation auflösen:

equation

equation

Wir haben also einen potentiellen Wendepunkt bei equation. Um diesen zu bestätigen, prüfen wir die dritte Ableitung an diesem Punkt:

equation

Wegen equation haben wir hier tatsächlich einen Wendepunkt. Die Krümmung der Funktion ändert sich hier von rechts zu links. Der folgende Graph veranschaulicht dies. Die Funktion ist in rot dargestellt und Krümmt sich offensichtlich vor dem Wendepunkt nach rechts und nach dem Wendepunkt nach links. Die erste Ableitung (lila) hat ein Minimum an diesem Punkt. Die zweite Ableitung (orange) hat eine Nullstelle an diesem Punkt. Die dritte Ableitung schließlich (schwarz) ist an diesem Punkt positiv (wie auch überall sonst).

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Spezialfall Sattelpunkt

Wenn die Tangente am Wendepunkt horizontal ist, wenn also equation und equation gilt, so ist der Wendepunkt zusätzlich ein Sattelpunkt. Ein Beispiel ist die folgende Funktion mit ihren Ableitungen:

equation
equation
equation

noextremum

Die notwendigen Bedingungen equation und equation sind allerdings nicht hinreichend für einen Sattelpunkt. Dieser ist erst bewiesen, wenn zusätzlich equation gilt. Allgemeiner lässt sich sagen: Wenn der Grad der ersten von Null abweichenden Ableitung ungerade ist, handelt es sich um einen Wendepunkt, ansonsten handelt es sich um ein Extremum.