tmb-lincomb

Lineare Kombinationen und lineare Abhängigkeit

Eine lineare Kombination ist die Summe von Vektoren, wobei jeder Vektor mit einem Skalar gewichtet/mulzipliert werden kann. Die folgenden Beispiele sollen dies zeigen:

(1)   equation

Allgemein ist ein Vektor equation eine lineare Kombination der Vektoren equation und equation, wenn die Summe der beiden mit Skalaren gewichteten Vektoren gleich equation ist: equation für die Zahlen equation and equation.

Lineare Unabhängigkeit und lineare Abhängigkeit

Zwei Vektoren equation und equation werden linear unabhängig genannt, wenn equation nur wahr ist für equation.

Das bedeutet also, dass egal mit welchem Skalar man Vektor equation multipliziert, niemals equation ergibt. Stelle dir ein zwei-dimensionales Koordinatensystem vor, bei dem die x-Achse durch den Vektor equation und die y-Achse durch den Vektor equation beschrieben werden. Jeden Vektor, den wir durch eine lineare Kombination von equation und equation erhalten ist linear abhängig von ihnen. Wir möchten nun eine weitere Dimension haben, die z-Achse. Wenn der Vektor equation für die z-Achse eine lineare Kombination von equation und equation wäre (wenn er linear abhängig wäre), dann hätten alle linearen Kombinationen aus den drei Vektoren equation, equation und equation eine null für die z-Komponente. Zum Beispiel seien die folgenden Vektoren gegeben:

(2)   equation

Wenn Vektor equation eine lineare Kombination der anderen Vektoren wäre, dann würde equation gelten, und egal welche Zahlen wir für equation und equation verwenden, die z-Komponente wäre immer null, weil sie in equation und equation null ist. Um Vektor equation linear unabhängig zu machen, definieren wir equation als:

    equation

Jetzt können wir mit einer linearen Kombination aus den drei Vektoren jeden Punkt in diesem drei-dimensionale Raum erreichen. Unser neuer Vektor equation ist nicht länger eine lineare Kombination von equation und equation und ist also linear unabhängig von ihnen.

Wir möchten nun mit einem Beispiel zeigen, wie man die lineare Abhängigkeit gegebener Vektoren prüfen kann.

Gegeben sind die Vektoren equation und equation und wir möchten feststellen, ob diese linear abhängig voneinander sind oder nicht. Um dies zu tun, setzen wir sie in die obige Gleichung ein.

(3)   equation

Um dies zu lösen, erstellen wir ein Gleichungssystem:

    equation

Wir multiplizieren die erste Reihe mit 3 und subtrahieren die zweite Reihe davon:

    equation

Wir sehen, dass equation ist und setzen es in die zweite Reihe ein und lösen diese für equation, was equation ergibt. Die beiden Vektoren sind also linear unabhängig.

Wir definieren nun einen weiteren Vektor equation und prüfen die lineare Abhängigkeit zu den anderen beiden Vektoren.

(4)   equation

Natürlich ist null eine Lösung, aber wir möchten sehen, ob es auch eine Lösung gibt, bei der mindestens ein equation-Wert nicht null ist. In diesem Fall würde nämlich eine lineare Abhängigkeit bestehen. Wir erstellen wieder das Gleichungssystem:

    equation

Wir multiplizieren die erste Reihe mit drei und addieren die zweite:

    equation

An der ersten Reihe sehen wir, dass equation und setzen dies in die zweite Reihe ein, die wir nach equation lösen:

    equation

Die Lösung ist also equation. Zum Beispiel equation löst das Gleichungssystem. Wir haben also gezeigt, dass die Vektoren linear abhängig sind, weil es eine Lösung gibt, bei der nicht alle equation-Werte null sind.