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Matrixmultiplikation

Matrixmultiplikation ist eine sehr übliche Operation mit Matrizen. So wie schon die Addition von Matrizen die Bedingung hatte, dass die Matrizen die gleiche Größe haben, hat auch die Multiplikation bestimme Bedingungen. Zwei Matrizen equation und equation, wobei equation eine equation x equation Matrix ist, können nur dann multipliziert werden, wenn equation eine equation x equation Matrix ist und das Ergebnis ist dann eine equation x equation Matrix. Das bedeutet also, dass die Anzahl der Spalten von equation (der ersten Matrix) gleich der Anzahl der Zeile von equation (der zweiten Matrix) sein muss. Die resultierende Matrix hat so viele Zeilen wie equation und so viele Spalten wie equation. Anhand dieser Bedingungen stellen wir bereits fest, dass die Reihenfolge, in der die Matrizen multipliziert werden, wichtig ist. Die folgende Grafik illustriert das:

matrixmul

Um den Eintrag equation der Ergebnismatrix equation zu berechnen, gucken wir uns Zeile equation von equation and Spalte equation von equation an. Der Eintrag wird schließlich wie das Skalarprodukt berechnet, wobei der erste Vektor die Zeile der ersten und der zweite Vektor die Spalte der zweiten Matrix ist. Das folgende Diagramm zeigt, wie die verschiedenen Einträge von equation von den Reihen und Spalten der anderen Matrizen berechnet wird:

matrixmul2

Wir schauen uns Eintrag equation an. Dazu müssen wir Zeile 1 von equation, also equation, und Spalte 1 von equation, alsoequation, angucken. Eintrag equation wird nun also wie das Skalarprodukt berechnet:

    equation

Wir möchten die folgenden beiden Matrizen multiplizieren:

(1)   equation

Zuerst bestätigen wir, dass die Anzahl der Zeilen von equation gleich der Anzahl der Spalten von equation ist. Das Ergebnis wird eine 2×2 Matrix (weil equation 2 Zeilen equation 2 Spalten hat).

    equation

Für Eintrag equation schauen wir uns die erste Zeile von equation und die erste Spalte von equation an:

(2)   equation

Für equation ist die erste Zeile von equation und die zweite Spalte von equation relevant:

(3)   equation

Wir wiederholen diesen Prozess für equation und equation:

(4)   equation

Wir haben nun alle Einträge unseres Ergebnisses berechnet:

    equation

Regeln

Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ. Das bedeutet, dass die Reihenfolge entscheidend ist. Im Allgemeinen bedeutet das equation für verschiedene Matrizen equation and equation. Eine Ausnahme ist die Einheitsmatrix. Wird eine Matrix mit der Einheitsmatrix multipliziert, ist das Ergebnis unabhängig von der Reihenfolge.

Matrixmultiplikation ist assoziativ. Das bedeutet also equation.

Für Matrixmultiplikation, die transponierte Matrizen involviert gilt: equation.

Einheitsmatrix

Eine quadratische Matrix equation, die mit der Einheitsmatrix equation multipliziert wird, ergibt immer das Ergebnis equation, egal in welcher Reihenfolge die Multiplikation stattfindet:

    equation

Die Einheitsmatrix ist bei der Matrixmultiplikation also so wie die Zahl 1 bei der normalen Multiplikation.

Inverse Matrix

Manche Matrizen können invertiert werden. Das bedeutet, dass eine Matrix equation eine Inverse equation haben kann, sodass:

    equation

Die Inverse bei der Matrixmultiplikation verhält sich ähnlich zur normalen Multiplikation. Die Inverse equation einer Zahl equation ist equation, und es gilt genau wie bei der Matrixmultiplikation equation. Für Matrizen ist das Bestimmen der Inversen allerdings schwieriger und wir behandeln dies in einem separaten Artikel.