Quadratische Ergänzung

Die quadratische Ergänzung ist eine Lösungsmöglichkeit für quadratische Gleichungen.

Man geht dabei von der Normalform aus, in die jede quadratische Gleichung immer gebracht werden kann:

    equation

Die linke Seite sieht nun ja schon so ähnlich aus, wie das Ergebnis einer binomischen Formel equation. Meist wird das aber nicht genau hinkommen, weil equation und equation nicht zusammen passen, wie in folgendem Besispiel:

    equation

sieht schon so aus, als könnte die linke Seite das Ergebnis von equation sein, aber dafür fehlen offenbar noch equation, damit dort statt equation eine equation steht.

Die Idee des quadratischen Ergänzens ist es, einfach das Fehlende zu ergänzen, damit die linke Seite zu einer binomischen Formel wird.

Dafür addiert man den zum binomischen Ausdruck fehlenden Anteil von equation, der

    equation

beträgt, zu der Gleichung in Normalform hinzu.

Anschließend formt man die linke Seite entsprechend binomisch um:

    equation

Jetzt kann man dank des Quadrates auf der linken Seite einfach die Wurzel ziehen, wobei man noch beachten muss, dass sowohl die positive als auch die negative Wurzel eine Lösung sind. deshalb kommt auf der rechten Seite ein equation hinzu:

    equation

Diese sind jetzt zwei lineare Gleichungen (eine für equation mit equation und eine mit equation), die man einfach auflösen kann. Man erhält so meist zwei Lösungen.

In einigen Fällen ist die Ergängzung equation negativ, in diesem Fall müsste man eine Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen. Dann hat die Gleichung keine Lösung, zumindet nicht innerhalb der rellen Zahlen.

Im oberen Beispiel sieht die Lösung dann so aus:

    equation

    equation

    equation

    equation

Es gibt also zwei Lösungen, equation und equation

Der Vorteil dieser Methode ist, dass recht klar ist, was man macht und sie gleichzeitig auf beliebige quadratische Gleicungen anwendbar ist. Der zu ergänzende Betrag ist allerdings bei krummen Zahlen im Kopf schwer auszurechnen; dann ist meist die pq-Formel besser zu benutzen.