Quadratische Gleichungen

Gleichungen, in denen die Unbekannte equation auch mit einem Quadrat vorkommt, nennt man quadratische Gleichungen. Anders als lineare Gleichungen, die in denen equation ohne Exponenten auftaucht, kann man sie nur lösen, indem man auch Wurzeln beim umformen benutzt. Außerdem haben sie oft zwei Lösungen statt nur einer.

Quadratische Gleichungen treten zum Beispiel auf, wenn man beschleunigte Bewegungen betrachtet:

Ein Stein fällt mit der beschleunigung equation nach unten und startet bei einer Position 5, dann hat er nach einer Zeit equation die Strecke equation zurückgelegt. Wie lange braucht er bis er bei der Position equation ist?

Gesucht wird also das equation, das

    equation

erfüllt.

Normalform quadratischer Gleichungen

Damit man die Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen möglicht einfach anwenden kann, bringt man quadrtische Gleichungen gerne zunächst auf eine einheitliche Form. Diese wird auch als Normalform bezeichnet. Sie lautet

Normalform quadratischer Gleichungen:

    equation

equation und equation sind dabei Zahlen, die sich beim Umformen aus der ursprüngliuche Gleichung ergeben. In diese Form kann jede quadratische Gleichung gebracht werden, indem man alle Terme auf eine Seite bringt, dann die Terme mit equation, die mit equation und die Konstanten jeweils zusammenfasst und dann durch den Vorfaktor von equation teilt.

Im Besispiel

    equation

bringt man zuerst alles auf die rechte Seite:

    equation

Dann teilt man durch den Vorfaktor von equation, hier also equation:

    equation

Damit hat man die Normalform mit equation und equation erreicht.

Lösungsverfahren

Für quadratische Gleichungen gibt es vier Lösungsverfahren: In Spezialfällen kann man sie durch Ausklammer von equation lösen. Wenn man eine Lösung der Gleichung durch Raten bekommt, kann man die zweite durch den Satz von Viëta erhalten. Im ganz allgemeinen Fall kann man entweder quadratisch ergänzen oder die sogenannte p-q-Formel anwenden.