Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras wird verwendet, um Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck zu berechnen. Er ist definiert als:

Gegeben ist ein Dreieck mit Seiten und . Bestimme die Länge von Seite .

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Herleitung

Wir erklären nun, wie man den Satz des Pythagoras herleiten kann. Dazu kopieren und spiegeln wir unser rechtwinkliges Dreieck, um ein Rechteck zu erhalten, welches wir ebenfalls kopieren, drehen und wie folgt aneinander legen:

Wir haben die Rechtecke so aneinander gelegt, sodass die Diagonalen (Hypotenuse des Dreiecks) zusammen ein Quadrat formen, welches wir hier mit Grün markieren:

Wir können die grüne Fläche ganz einfach mit bestimmen. Unser Ziel ist es diese selbe Fläche nur durch die Seiten und zu beschreiben. Die grüne Fläche besteht aus einem Quadrat in der Mitte und vier Dreiecken. Die Fläche jedes Dreiecks lässt sich mit bestimmen:

Wir haben vier dieser Dreiecke, also ist die Fläche insgesamt . Es bleibt die Fläche des inneren Quadrats zu bestimmen:

Wir sehen, dass die Seite des Quadrats die Länge hat. Somit ist die Fläche . Das bedeutet, dass wir die Fläche des größeren Quadrats, welches ja eine Fläche von hat, mit Hilfe der vier Dreiecke und des inneren Quadrats berechnen können. Wir addieren die Flächen der vier Dreiecke und des inneren Quadrats und setzten dieses mit gleich und vereinfachen:

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