tmb-pythagorean

Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras wird verwendet, um Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck zu berechnen. Er ist definiert als:

    equation

equation ist die Hypotenuse (die längste Seite des Dreiecks), equation und equation sind die Katheten (die beiden Seiten mit dem rechten Winkel).

righttriangle

Gegeben ist ein Dreieck mit Seiten equation und equation. Bestimme die Länge von Seite equation.

(1)   equation

Herleitung

Wir erklären nun, wie man den Satz des Pythagoras herleiten kann. Dazu kopieren und spiegeln wir unser rechtwinkliges Dreieck, um ein Rechteck zu erhalten, welches wir ebenfalls kopieren, drehen und wie folgt aneinander legen:

triangles

Wir haben die Rechtecke so aneinander gelegt, sodass die Diagonalen (Hypotenuse des Dreiecks) equation zusammen ein Quadrat formen, welches wir hier mit Grün markieren:

triangles2

Wir können die grüne Fläche ganz einfach mit equation bestimmen. Unser Ziel ist es diese selbe Fläche nur durch die Seiten equation und equation zu beschreiben. Die grüne Fläche besteht aus einem Quadrat in der Mitte und vier Dreiecken. Die Fläche jedes Dreiecks lässt sich mit equation bestimmen:

triangles4

Wir haben vier dieser Dreiecke, also ist die Fläche insgesamt equation. Es bleibt die Fläche des inneren Quadrats zu bestimmen:

triangles3

Wir sehen, dass die Seite des Quadrats die Länge equation hat. Somit ist die Fläche equation. Das bedeutet, dass wir die Fläche des größeren Quadrats, welches ja eine Fläche von equation hat, mit Hilfe der vier Dreiecke und des inneren Quadrats berechnen können. Wir addieren die Flächen der vier Dreiecke und des inneren Quadrats und setzten dieses mit equation gleich und vereinfachen:

(2)   equation