Satz von Viëta

Wenn man eine quadratische Gleichung in der Normalform

    equation

vorliegen hat. Dann kann man sie natürlich mithilfe der pq-Formel oder mit quadratischer Ergänzu lösen, aber diese beiden Verfahren sind recht aufwendig und manchmal kann man den sogenannten Satz von Viëta verwenden, um schneller zur Lösung zu gelangen.

Für die beiden Lösungen equation und equation einer quadratischen Gleichung in Normalform equation gilt:

    equation

und

    equation

Beweisen kann man das, indem man sic h folgendes überlegt: Wenn equation und equation Lösungen der Normalfom sind, dann ist equation genau dann Null, wenn equation oder equation erfüllt ist. Das bedeutet, man kann folgendermaßen umformen:

    equation

Denn die rechte Seite wird offenbar genau bei equation und equation Null. Jetzt braucht man nur noch die rechte Seite auszumultiplizieren:

    equation

Wenn man beide Seiten vergleicht erkennt man, das gerade der Satz von Viëta erfüllt sein muss.


Diesen Satz kan man zum einen ausnutzen, um schnell zu überprüfen, ob die Lösungen zu einer quadratischen Gleichung korrekt sind, indem man die Lösungen in den Satz einsetzt und schaut, ob equation und equation herauskommen.

Man hat zur Gleichung equation die Lösung equation gefunden und möchte sie überprüfen. Mit dem Satz von Viëta rechnet man aus:

    equation

und

    equation

Der Satz ist also erfüllt und die Lösung daher korrekt.

Zum anderen kann man bei einfachen Werten von equation und equation die beiden Gleichungen des Satzes nutzen, um die lösung quasi zu erraten. Man sucht dafür nach zwei zahlen, die multipliziert equation und zusammenaddiert equation ergeben. Das funtioniert gerade bei Übungsaufgaben aus Schulbüchern häufig.

Zum Lösen von equation probiert man die einfachsten ZAhlen durch, die multipliziert equation ergeben und kuckt dann jeweils, ob sie zusammengezählt auch equation ergeben. Auf die Lösung equation kommt man dann recht schnell, da das eine der einfachsten Faktor-Zerlegungen von equation ist.


Dieses “Raten” funktioniert zwar im Prinzip immer, wenn man lange genug probiert, aber es lohnt sich nur, wenn man recht schnell zur richtigen Lösung kommt. Ansonsten ist es schenller die pq-Formel oder quadratische Ergänzung zu benutzen.

Ein geschicktes Vorgehen ist es bei der Lösung quadratischer Gleichungen zunächst schnell zu versuchen, ob man mit dem Satz von Viëta die Lösung findet, indem man die zwei bis drei einfachsten Faktor-Zerlegungen von equation durchprobiert. Wenn das nicht funktioniert löst man mit einer anderen Methode. So lässt sich bei vielen Aufgaben einiges an Zeit sparen.