Wurzelgesetze

Wie auch für Potenzen gelten auch für Wurzeln Rechenregeln, die sich aus diesen ergeben.

Produktregel

Genau wie die Potenz eines Produktes gleich dem Produkt von Potenzen ist gilt dies auch für Wurzeln:

    equation

Herleiten läßt sich dies aus dem Potenzgesetz für Produkte equation:

    equation

    equation

    equation

Mithilfe dieses Gesetzes können einige Wurzeln einfacher berechent werden, indem man die Zahl unter der Wurzel zunächst in einzelne Faktoren zerlegt.

equation ist beispielsweise nicht unbedingt sofort klar, zerlegt man aber equation, dann bekommt man:

    equation

Quotientenregel

Ganz analog gilt auch für Quotienten unter Wurzeln:

    equation

Der Beweis kann hier einfach mit der Produktregel und der Dasrstellung equation erbracht werden:

    equation

Potenzen unter der Wurzel

Eine weitere Regel, die aus der Produktregel folgt, ist die Regel für Potenzen unter der Wurzel bzw. Wurzeln unter Potenzen. Wenn unter einer Wurzel mit dem Exponenten equation eine Potenz mit dem Exponenten equation steht, wober equation und equation zwei unterschiedliche ganze Zahlen sind, dann gilt:

    equation

Die Potenz kann also aus der Wurzel heraus oder umgekehrt unter die Wurzel gezogen werden.

Der Beweis kann auch hier mit der Produktregel nachvollzogen werden. Da eine Potenz equation ja nicht weiter ist, als ein Produkt mit equation Faktoren, kann man einfach die Produktregel anwenden und bekommt so:

    equation

So kann man in Fällen, in denen eine Potenz unter der Wurzel steht, ide unter umständen sehr groß ist, es vermeiden, aus dieser großen zahl die Wurzel zeihen zu müssen, sondern kann erst die Wurzel ziehen und dann Potenzieren:

equation auszurechnen, indem man zuerst pontenziert equation und dann versucht daraus die Wurzel zu ziehen, ist aufwendig. Zeiht man aber erst die Wurzel equation dann kann man die Potenz anschließen recht einfach bilden:

    equation

Wurzeln von Wurzeln

Schließlich gilt noch für Wurzeln, die selbst wieder unter Wurzeln stehen:

    equation

Das heißt, zwei aufeinanderfolgende Wurzeln kann man sowohl miteinander vertauschen oder zu einer zusammenfassen, indem man die Exponenten addiert.

Wichtig ist auch noch zu beachten, dass es keine derartigen Reglen für Summen und Differenzen unter der Wurzel gibt: Wenn unter der Wurzel ein Plus oder ein minus steht, muss man erst dieses ausführen und dann die Wurzel ziehen:

    equation