Wurzelverfahren nach Heron

Die Quadratwurzeln der allermeisten rationalen Zahlen sind keine rationalen Zahlen, das heißt sie können nicht als Bruch dargestellt werden. Selbst bei Zahlen, die eine rationale Wurzel haben, ist das Ergebnis nicht sofort ersichtlich.

Um den Zahlenwert der Wurzel eine Zahl zu berechnen gibt es das sogenannte Wuerzelverfahren nach Heron. Dabei handelt es sich um ein iteratives Verfahren, das heißt, man startet mit einem Shcätzwert für das Ergebnis der Wurzel und bekommt mit jeder Rechenrunde ein besseres Ergebnis. Das Verfahren zur Berechnung der Wurzel equation ist folgendes:

  1. Zuerst sucht man sich eine Zahl equation, die in der Nähe des gesuchten Wertes liegt. Am einfachsten erhält man diesen Startwert, indem man einfach zur Quadratzahl ghet, die am dichtesten an equation liegt und dann die Wurzel davon nimmt.
  2. Anschließend erhält man einen besseren Wert equation für die Wurzel, indem man

        equation

    ausrechnet. Dieser Wert liegt dann dichter an der gesuchten Wurzel.

  3. liegt und dann die Wurzel davon nimmt.

  4. Das wiederholt man dann sooft, bis das Ergebnis genau genug ist: Von dem letzten Schätzwert equation kommt man zum nächsten, besseren indem man

        equation

    ausrechnet.

Durch jede Wiederholung von Schritt 3 wird das Ergebniss immer besser; weil für die Rechnung aber nur dividiert und addiert wird, bleibt das Ergebnis immer rational. Deswegen wird es zwar immer genauer, wenn aber die exakte Wurzel irrational ist, wird sie trotzdem niemals erreicht. Ist die Wurzel hingegen rational, kommt man irgendwann zu dem exakten Wert.

Das Verfahren soll an einem Besipiel erläutert werden:

equation soll berechnet werden.

  1. 7 liegt relativ dicht an equation, deswegen nimmt man als Startwert equation.
  2. Zum nächsten wert kommt man jetzt durch

        equation

    Das Quadrat davon ist 7,111, also ist man schon recht nahe an der gesuchten Wurzel.

  3. Im nächsten Schritt bekommt man dann

        equation

    Das Quadrat davon ist equation. Für die allermeisten Zwecke ist der bestimmte Wert also schon nach 2 Schritten dicht genug an der exakten Wurzel und man kann die Berechnung abbrechen. Wenn man sie fortsetzt, würde der Wert noch genauer.

Das Verfahren nach Heron ist ein Spezialfall des sogenannten Newtonverfahrens.